初中数学-八年级数学教案数学教案－立方根

数学教案－立方根

一、 教学目标

1.了解立方根和开立方的概念；

2.会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算；

3.培养学生用类比的思想求立方根的运算能力；

4.由立方与立方根的教学，渗透 数学的转化思想；

.通过立方根符号的引入体验 数学的简洁美.

二、 教学重点和难点

教学重点：立方根的概念与性质．

教学难点：会求某些数的立方根．

三、教学方法

启发式，讲练结合

四、教学手段

幻灯片．

五、 教学过程

(一)复习提问

请同学们回忆一下，平方根我们是如何定义的？平方根有哪些性质？

在同学们回答后，启发学生是否可试着给数的立方根下个定义．

1．立方根的概念：

如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的 立方根．(也称数a的 三次方根)

用 数学式表示为：

若x ³ =a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．

2．立方根的表示方法：

类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号 来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，注意，在前面我们 学习平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如 表示12的立方根，而 则表示12的算术平方根.

练习：用根号表示下列各数的立方根：

3．开立方概念：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方．

4．开立方运算与立方运算互为逆运算．

因此，我们可以根据立方运算来求一些数的立方根．

例1． 求下列各数的立方根：

解：(1)∵(-2) ³ =-，

(2)∵2 ³ =，

(4)∵  (0.6) ³ =0.216，

()∵0 ³ =0，

下面我们思考这样一个问题：一个正数有几个平方根？负数有没有平方根？一个正数有几个立方根？负数有没有立方根？请学生来回答这个问题．由前面刚刚做过的题我们不难看出像、0.126、103、 这样的正数，有一个正的立方根；像-、 、 这样的负数有一个负的立方根；0的立方根是0．由此我们得了立方根的性质．

．立方根的性质：

(1)正数有一个正的立方根．

(2)负数有一个负的立方根．

(3)0的立方根是0．

这里我们不妨与平方根的性质做个比较，平方根中，正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根；在平方根中负数是没有平方根的，而负数有一个负的立方根；平方根与立方根唯一相同之处是0的平方根，立方根都是它本身．
例2．求下列各式的值：

解：(1)∵3 ³ =27，

(2)∵ (-3) ³ =-27，

()∵  (10 ² ) ³ =106，

(6)∵  (10 ³ ) ³ =10 ⁹ ，

例3． 解方程：

(1)x ³ =0.12；(2)3(x-4) ³ -136=0．

解：(1)x ³ =0.12

x=0.．

(2)3(x-4) ³ -136=0(此题可由学生先做，教师纠正错误)

3(x-4) ³ =136

(x-4) ³ =12

x-4=

x=12．

尽管我们 学习了立方根，而我们也只能由立方根的定义求解x ³ =a(a为常数)这一类型的

简单的三次方程，所以像第(2)小题，我们要把(x-4)看成一个整体，依然转化成为x ³ =a的形式，再由立方根定义去解．

填空练习：

(1)1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____．

(2)平方根是它本身的数是____．

(3)立方根是其本身的数是____．

(4)算术平方根是其本身的数是________．

() 的立方根为________.

(6) 的平方根为________.

(7) 的立方根为________ .

()一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________；立方根是____________．

解：(1)±1；1；1．

(2)0．(此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误．)

(3)±1和0．(由此题，再复习一道立方根的性质．)

(4)0，1．(此题有学生可能会忘掉0．)

()-2（此题学生易得出-4的答案，应引导学生将 翻译为-，在求立方根，也有学生将 看成 得到 ，讲解时注意）

(6) （此题首先让学生把 计算出来，再求平方根，而且平方根有两个）

(7)-2．

() ， （此题引导学生先根据算术平方根来表示被开方数为a ² ，再表示相邻的下一个自然数为a ² +1，注意表示其平方根时有两个值．）

六、总结

今天我们主要 学习了立方根的概念和性质，一定要与平方根的概念和性质相对比去理解．平方根与立方根是今后我们 学习中经常会用到的两个非常重要的概念，希望同学们能够熟练地掌握它，尤其是它们之间的联系与区别．

七、作业

教材P．141练习1、2、4．

八、 板书设计

探究活动

立方根近似值的求法

当立方根是一位整数时，很容易求出这个立方根；但当立方根是两位或两位以上的整数时，也能容易地求出吗？例如求14060的立方根，怎样求容易？

下面就介绍它的巧妙求法．

先用前三位数140来确定立方根的十位数．因为 ³ ＜140＜6 ³ ，所以十位数是，而不是6．再用最后一位数来确定立方根的个位数．因为2 ³ ＝，所以个位数是2．就是说，14060的立方根是2．确定立方根的个位数时要注意下面规律：我们知道：1 ³ ＝1，4 ³ ＝64， ³ ＝12，6 ³ ＝216，9 ³ ＝729，就是说当被开方数的末位数是1、4、、6、9时，立方根的个位数就等于它本身(1、4、、6、9)；

因为2 ³ ＝， ³ ＝12，就是说当被开方数的末位数是和2时，立方根的个位数就分别是2和，叫做2与互换原则；同样还有3与7互换原则(被开方数的末位数分别是3和7，立方根的个位数就分别是7和3)．

一般地，如果10 ³ ＜a＜100 ³ ，且a是能开尽立方的数，那么就能用这种方法求a的立方根．请用这种方法求下列各数的立方根：

2192，063，7907，27496，970299．